Математический формализм описания волн и частиц.

Функцию, описывающую плоскую монохроматическую волну (3), удобно записывать с использованием многомерных обозначений в комплексном виде

(4) ,

причем знак операции взятия вещественной части комплексного числа обычно для краткости опускается.

Для описания распределения плотностей (массы, заряда, спина и т.д.) точечных объектов вводят так называемые дельта-функции , математические свойства которых весьма экзотичны:

(5) ,

причем на бесконечность функция уходит так “далеко”, что объем под ее графиком оказывается равным конечной величине - 1.

Аналогия между разложением вектора по базису и Фурье-представлением функций. Ортонормированный базис (совокупности взаимно ортогональных векторов единичной длины) {e} определяется соотношением:

(6) ,

Любой вектор R может быть разложен по выбранному базису:

(7) ,

т.е. представлен как сумма единичных ортов, домноженных на числа, называемые проекциями вектора на направление орта . Выражение для проекций получается с учетом (6) в результате скалярного умножения (7) на каждый из ортов:

(8) .

В функциональном пространстве роль векторов играют непрерывные функции, роль скалярного произведения (операция, ставящая в соответствие двум векторам число) - интеграл по конфигуранционному пространству аргументов от их произведения:

(9) .

Роль ортонормированного базиса может играть множество гармонических функций:

(10) ,

причем дельта функция в (10) является аналогом символа Кронекера в (6). Теорема о разложении в интеграл Фурье, имеющая вид:

(11)

аналогична разложению (7), причем амплитуды волн (“проекции функции F на гармонические отры”) находятся аналогично тому, как это делалось для векторов в (8):

(12) .

Помимо гармонических функций существует бесконечное множество других ортонормированных наборов, конкретный выбор которых определяется спецификой задачи. В частности, могут использоваться и дельта-функции, строгое математическое определение которых аналогично разложениям (7) и (11):

(13) .

Т.о. с точки зрения математики дельта функции (описывающие точечные частицы) и гармонические функции (описывающие монохроматические волны) составляют ортонормированные наборы и могут использоваться для разложения более сложных функций и одинаково пригодны для описания объектов и процессов с весьма разнообразными свойствами.

Акустические волны. Звук представляет собой продольные волны сжатия, распространяющиеся в упругих материальных средах. В твердых телах возможен “поперечный” звук. Ухо человека воспринимает колебания, частоты которых лежат в диапазоне от ?? Гц до Гц ??. Высота звука определяется частотой колебаний: более высокие частоты вызывают ощущение “более высокого звука”, “басы” соответствуют низкочастотным колебаниям. Ощущение громкость звука определяется энергией, переносимой звуковой волной (пропорциональна квадрату амплитуды колебаний давления).

Другое по теме

Метод добавок в условиях нелинейной калибровки.
Изложенные выше различные варианты метода добавок имеют одно общее свойство, заключающееся в том, что в основе их лежит закон Нернста. Закон предполагает линейность электродной функции в неограниченном диапазоне концентраций анализируемого иона. Если электродная функция нелинейна, то применение известных методов добавок станов ...

История космических исследований
Освоение космоса, космические исследования относятся к одному из основных направлений научно-технической революции. Рассмотрение этого направления в технико-экономическом аспекте представит определенный интерес для специалистов, разрабатывающих международные программы сотрудничества в области экономики, науки и техники ...