О математической экономике как области математики и о некоторых ее связях

По-видимому, эти вопросы сейчас теряют свое прикладное значение, но несомненно интересны с математической точки зрения, как и всякие теории многозначных и положительных отображений. Напомним, что еще до войны Л.В. создал теорию полуупорядоченных пространств (К-пространств), которая вскоре замкнулась в себе и перестала интересовать и его, и тех, кто не занимался ею непосредственно. Но полупорядоченность в более широком смысле всегда была предметом особого интереса математиков ленинградской и украинской школ.

Е) Глобализация линейного программирования.

Привлечение идей из топологии и дифференциальной геометрии привели и к другому синтезу - понятию полей многогранников, конусов и т.п., играющих важную роль в оптимальном управлении, Парето-оптимуме (гипотеза Смейла и работы Вана и Вершика-Чернякова) и др. Имеются в виду задачи с гладким параметром, пробегающим многообразие, в каждой точке которого есть задача линейного программирования. Поля многогранников, или поля задач, возникают и в теории гладких динамических систем.

Еще одна тема, близкая по средствам, но с иной целью -- оценка среднего числа шагов в различных вариантах симплекс-метода (Смейл, Вершик - Спорышев и др.) -- здесь использовались идеи интегральной геометрии ("грассманов подход"). Эти оценки были еще одним подтверждением практичности симплекс-метода и метода разрешающих множителей.

Сильное впечатление произвели в 80-х гг. работы Хачияна и Кармаркара, дававшие полиномиальную (в некотором смысле) равномерную (по классу задач) оценку сложности метода эллипсоидов для решения задач линейного программирования. Тем не менее, этот метод ни в каком отношении не заменил различные варианты симплекс-метода. Оценки, о которых шла речь выше, дают линейную или квадратичную оценку сложности лишь статистически. В целом проблема о полиномиальности л.п. в подлинном смысле слова до сих пор (2001) еще не решена.

Ж) Линейное программирование и методы вычислений.

Еще одно направление, начатое Л.В. и не получившее должного развития, -- линейное программирование как метод приближенного решения задач математической физики (двусторонние оценки линейных функционалов от решений). Работа на эту тему (1962) содержала очень плодотворную идею, и несколько работ на эту тему было выполнено в ЛГУ. Подход Л.В. можно рассматривать также как альтернативный подход к некорректным задачам. Эта задача очень актульна в математической геофизике и обсуждалась Л.В. с Кейлис-Бороком.

Другое по теме

Возможности использования анализатора жидкости Флюорат 02-3м для анализа питьевой и природной воды
Государственное унитарное предприятие "Центр исследования и контроля воды", осуществляющее регулярный контроль питьевых и сточных вод предприятий Санкт-Петербурга, имеет многолетний опыт разработки методик выполнения измерений и испытания средств измерения. В последние годы Центр исследования и контроля воды ...

Структурные уровни организации материи
Развитие - это необратимое, направленное, закономерное изменение материи и сознания, их универсальное свойство; в результате развития возникает новое качественное состояние объекта - его состава или структуры. Развитие - всеобщий принцип объяснения природы, общества и познания, как исторически протекающих событий. Р ...